2023年成考专升本《高等数学一》每日一练试题08月27日

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单选题

1、设且收敛，则（）。

• A：必定收敛
• B：必定发散
• C：收敛性与a有关
• D：上述三个结论都不正确

答 案：D

解 析：由正项级数的比较判定法知，若，则当收敛时，也收敛；若发散时，则也发散，但题设未交待与的正负性，由此可分析此题选D。

2、设二元函数z＝f（xy，x²＋y²），且函数f（u，v）可微，则等于（）。

• A：y＋2x
• B：
• C：
• D：

答 案：B

解 析：。

3、当a＜x＜b时，f'（x）＜0，f''（x）＞0.则在区间（a，b）内曲线段y＝f（x）的图形（）。

• A：沿x轴正向下降且为凹
• B：沿x轴正向下降且为凸
• C：沿x轴正向上升且为凹
• D：沿x轴正向上升且为凸

答 案：A

解 析：由于在（a，b）内f'（x）＜0，可知f（x）单调减少，由于f''（x）＞0，可知曲线y＝f（x）在（a，b）内为凹。

主观题

1、设，求

答 案：解：由题意得故。

2、将函数f（x）＝sinx展开为的幂级数．

答 案：解：由于若将看成整体作为一个新变量，则套用正、余弦函数的展开式可得从而有其中（k为非负整数）。

3、曲线y²＋2xy＋3＝0上哪点的切线与x轴正向所夹的角为？

答 案：解：将y²＋2xy＋3＝0对x求导，得欲使切线与x轴正向所夹的角为，只要切线的斜率为1，即亦即x＋2y＝0，设切点为（x₀，y₀），则x₀＋2y₀＝0①
又切点在曲线上，即y₀²＋2x₀y₀＋3＝0②
由①，②得y₀＝±1，x₀＝±2
即曲线上点（－2，1），（2，－1）的切线与x轴正向所夹的角为。

填空题

1、＝（）。

答 案：e^-1

解 析：

2、设则dy=（）  

答 案：

解 析：故有

3、设函数z＝f（x，y）可微，（x₀，y₀）为其极值点，则（）。

答 案：

解 析：由二元函数极值的必要条件可知，若点（x₀，y₀）为z＝f（x，y）的极值点，且，在点（x₀，y₀）处存在，则必有，由于z＝f（x，y）可微，则偏导数必定存在，因此有。

简答题

1、证明：当x>0时>1+x.  

答 案：