2025年高职单招《数学》每日一练试题12月09日

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判断题

1、两个单位向量一定相等。（）  

答 案：错

解 析：∵两个单位向量的方向可以不同，∴两个单位向量不一定相等，故错误。

2、cos（3+a）=cosa。（）  

答 案：错

单选题

1、在∆ABC中，AB=3，AC=2,若，则（）  

• A：
• B：
• C：
• D：

答 案：C

2、向最大容量为60升的热水器内注水，每分钟注水10升，注水2分钟后停止1分钟，然后继续注水，直至注满．则能反映注水量与注水时间函数关系的图像是()  

• A：
• B：
• C：
• D：

答 案：D

解 析：按照注水的过程分为，注水2分钟，已注入10*2=20L水，还剩40L水需要注入；则需四分钟即停1分钟后再注水4分钟．所以当y=60L时，x=2+1+4=7。故选D

多选题

1、已知函数 f(x)的定义域为 R,其导函数 f'(x)的图象如图所示,则对于任意 x 1 ,x2∈R(x1≠x 2 ),下列结论正确的是( )  

• A：(x1 -x2 )[f(x1 )-f(x2 )]<0
• B：(x1 -x2 )[f(x1 )-f(x2 )]>0
• C：
• D：

答 案：AD

解 析：由题中图象可知,导函数 f'(x)的图象在 x 轴下方,即 f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数 f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得 f(x)的大致图象如图所示. A 选项表示 x 1 -x₂与 f(x₁ )-f(x₂ )异号,即 f(x)图象的割线斜率为负，故 A 正确;B 选项表示 x ₁ -x₂与 f(x₁ )-f(x₂ )同号,即 f(x) 图象的割线斜率为正,故 B 不正确; 对应的函数值,即图中点 B 的纵坐标时所对应的函数值的平均值,即图中点 A 的纵坐标,显然有 故 C 不正确,D 正确.故选 AD.  

2、下列说法不正确的是（）  

• A：相切两圆的连心线经过切点
• B：长度相等的两条弧是等弧
• C：平分弦的直径垂直于弦
• D：相等的圆心角所对的弦相等

答 案：BCD

解 析：A、根据圆的轴对称性可知此命题正确，不符合题意；B、等弧指的是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧．而此命题没有强调在同圆或等圆中，所以长度相等的两条弧，不一定能够完全重合，此命题错误，符合题意；C、此弦不能是直径，命题错误，符合题意；D、相等的圆心角指的是在同圆或等圆中，此命题错误，符合题意；故选：BCD

主观题

1、已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=1-3^x. （1）求函数f（x）的解析式； （2）当x∈[2,8]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

答 案：（1）（2）a≥6

解 析：（1）当x＜0时，则-x＞0， f（-x)=1-3^-x f（x)是奇函数， f（x)=-f（x)=-1+3^-x. 又当x=0时，f(0)=0 ∴ （2）由 可得 ∵f（x)是奇函数 ∴ 又f（x)是减函数， 所以对x∈[2,8]恒成立 令t=log₂x，x∈[2,8]，则t∈[1,3]， ∴t²-at+5≤0对t∈[1,3]恒成立 令g(t)=t²-at+5，t∈[1,3]. ∴ 解得a≥6. ∴实数a的取值范围为[6,+∞)

2、设函数f（x)=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值 （1）求a、b、c、d的值： （2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论： （3）若x₁，x₂∈[-1,1]时，求证：

答 案：（1）函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x有f（x)=-f（x)， ∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d,即bx²-2d=0恒成立 ∴b=0，d=0∴f（x）=ax³+cx，f'（x）3ax²+c， ∵x=1时，f（x）取极小值，∴3a+c=0且，解得，c=-1 （2）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立. 假设图象上存在两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直， 则由f’（x)=x²-1，知两点处的切线斜率分别为k₁=x₁²-1.k₂=x₂²-1， 且（x₁²-1）（x₂²-1）=-1…（*） ∵x₁、x₂∈[-1，1]，∴x₁²-1≤0，x₂²-1≤0，∴（x₁²-1）（x₂²-1）≥0 此与（*）相矛盾，故假设不成立. 证明（3）∵f（x）=x²-1，令f’（x）=0.得x=±1，x∈（-∞,-1）， 或x∈（1,+∞）时，f’（x)＞0;x∈（-1.1）时，f’（x)＜0， ∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且 ∴在[-1，1]上，

填空题

1、

答 案：

解 析：

2、设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,4},用集合A和集合B表示全集U,则（）。

答 案：U=

解 析：U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B=(2,4),所以={2,4,6},={1,3.5,6},所以={2,4,6}U{1,3,5,6}={1,2,3,4,5,6}.所以U=。