2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题05月25日

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单选题

1、级数（a为大于零的常数）（）。

• A：绝对收敛
• B：条件收敛
• C：发散
• D：收敛性与a有关

答 案：A

解 析：级数，因此为收敛级数，由级数性质可知绝对收敛。

2、设，其中f（x）为连续函数，a＞0且a≠1，则f（x）等于（）。

• A：2a^2x
• B：a^2x㏑a
• C：2xa^2x-1
• D：2a^2x㏑a

答 案：D

解 析：对两边求导得：f（x）＝2a^2xlna。

3、函数单调减少的区间为（）。

• A：（－∞，1]
• B：[1，2]
• C：[2，＋∞）
• D：[1，＋∞）

答 案：B

解 析：的定义域为（－∞，＋∞），求导得令得驻点当x＜1时，f（x）单调增加；当1＜x＜2时，，f（x）单调减少；当x＞2时，f（x）单调增加.故单调递减区间为[1，2]。

主观题

1、求微分方程的通解。

答 案：解：的特征方程为，则特征根为，故其通解为因为自由项不是特征根，故设特殊解为代入原方程，有故的通解为

2、试证：当x＞0时，有不等式

答 案：证：先证x＞sinx（x＞0）。设f（x）＝x－sinx，则f（x）＝1－cosx≥0（x＞0），所以f（x）为单调递增函数，于是对x＞0有f（x）＞f（0）＝0，即x－sinx＞0，亦即x＞sinx（x＞0）。再证
令
则，所以g'(x)单调递增，又g'(x)＝0，可知g'(x)＞g'(0)＝0（x＞0），那么有g（x）单调递增，又g（0）＝0，可知g（x）＞g（0）＝0（x＞0），所以即
综上可得：当x＞0时，。

3、将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。

答 案：解：由于可知

填空题

1、设函数f(x)满足f’(1)=5，则

答 案：10

解 析：

2、设I=交换积分次序，则有I=（）

答 案：

解 析：的积分区域

3、z＝sin（x²＋y²），则dz＝（）。

答 案：

解 析：，所以。

简答题

1、求  

答 案：